El projecte

El projecte

Bastants anys d’experiència en l’ensenyament de les matemàtiques al batxillerat, constatant dia rere dia el fracàs de molts alumnes en aquesta disciplina, ens han fet qüestionar aquest ensenyament. El problema pot ser tant de continguts com de mètodes, però és clar que alguna cosa no va bé. Es palesa l’aversió de molts alumnes envers les matemàtiques, manifestada en frases que sentim sovint, com: “les matemàtiques no m’entren”, “no m’agraden”, “no serveixo per a les matemàtiques”, “de què serveix tot això?”, etc. que trasllueixen una situació que com a professors ens preocupa i sobre la qual volem incidir.

Generalment es considera que la característica essencial de les matemàtiques és el mètode deductiu, que això és el que cal ensenyar. Hom pensa que si s’expliquen lògicament, enunciant uns principis i deduint-ne les conseqüències, els alumnes comprendran les matemàtiques. És a dir, hom pensa que el plantejament deductiu és també el plantejament pedagògic. Actuant així, hom ignora que l’activitat matemàtica fa servir el poder de la imaginació almenys en la mateixa mesura que el poder de les conclusions lògiques.

Repassant breument la història, és clar que els conceptes matemàtics que es varen acceptar i utilitzar en primer lloc foren els que tenien un significat intuïtiu més gran: els nombres naturals, les fraccions i els conceptes geomètrics. Els nombres irracionals, els nombres negatius, els complexos, la utilització de lletres per a simbolitzar un nombre qualsevol i els conceptes de càlcul, que eren menys intuïtius, necessitaren molts més segles per a llur creació o per a llur acceptació. De més a més, quan es varen acceptar, no va és ser la seva lògica allò que va convèncer els matemàtics, sinó els arguments per analogia, el significat físic d’alguns conceptes, l’obtenció de resultats científics correctes i la familiarització o habituació als nous conceptes. És a dir, va ser l’evidència intuïtiva allò que va induir els matemàtics a acceptar-los. La lògica sempre ha vingut molt després de la invenció, i ha estat, evidentment, més difícil d’obtenir.

La construcció mental del nombre i del pensament matemàtic en el nen i l’adolescent, de la mateixa manera que els altres coneixements, no segueix un procés formal lògic-deductiu. Cada persona ha de passar aproximadament de forma abreujada per les mateixes experiències que varen passar els seus avantpassats si és que vol arribar a adquirir el nivell de pensament al qual s’ha arribat després de moltes generacions. Aquesta idea, coneguda amb el nom de llei biogenètica, ha estat expressada per molts il·lustres matemàtics i pedagogs. Félix Klein, un dels matemàtics més importants i professor de finals del segle XIX començament del XX, escrivia en els seus “Elementare  Mathematik vom Hohere Standpunckt aus”:

“En acabar aquesta discussió sobre la teoria de conjunts, hem de tornar a fer la pregunta que acompanya totes aquestes lliçons: de tot això, que és el que es pot fer servir a l’ensenyament? Des del punt de vista de la pedagogia de les matemàtiques naturalment hem de protestar contra la imposició als alumnes de coses tan abstractes i difícils de bon començament. Per aclarir el meu punt de vista voldria recordar la llei fonamental de la biogenètica, segons la qual el desenvolupament dels individus reprodueix en una sèrie resumida totes les etapes del desenvolupament de les espècies.

Això és una cosa que avui tothom sap. Doncs bé, penso que l’ensenyament de les matemàtiques, com el de qualsevol altra cosa, segueix aquesta llei, almenys a grans trets. Tenint en compte la gran capacitat natural dels joves, se’l s’ha de portar a poc a poc a les idees més elevades i, finalment a les formulacions més abstractes, seguint, en fer-ho, el mateix camí que ha portat l’espècie humana a sortir del seu primitivisme original i a arribar a les formes més elevades del coneixement. Cal recordar molt sovint aquest principi, perquè sempre hi ha qui seguint el costum de l’escolàstica medieval, comença l’ensenyament amb les idees més generals i defensa aquest mètode com “l’únic científic”. Tanmateix, aquesta justificació és completament falsa. Ensenyar científicament significa induir a pensar científicament i de cap manera no pot voler dir enfrontar l’alumne de bon començament amb sistemes freds i científicament polits”.

Hi ha un altre aspecte en el plantejament habitual de l’ensenyament de les matemàtiques que les fa indigeribles als estudiants: llur total desvinculació dels problemes reals. Molts veuen les matemàtiques com una matèria totalment aliena a ells. Això tant pot deure’s a una manca de motivació davant problemes que els poden semblar artificials o inútils, com a l’hàbit de treball que tinguin en matemàtiques, mancat d’iniciativa i d’actitud creativa, perquè cada vegada més s’ha tendit a prescindir de problemes interessants per exigir només la resolució d’exercicis. Citant Pere Puig i Adam: “L’estudi matemàtic dels fenòmens naturals comporta tres fases: la primera de planteig, d’esquematització, en una paraula, d’abstracció; la segona és la fase resolutiva de mecanisme lògic; la darrera, és d’interpretació, de concreció. “Massa vegades s’estalvia a l’alumne la primera (o la tercera) d’aquestes fases, amagant-li la part més rica del procés”.

Generalment la justificació que es dóna per a estudiar un tema és purament matemàtica. És inútil voler interessar els alumnes en els nombres negatius demanant que sempre es puguin restar dos nombres. Els objectes matemàtics són abstractes, però tenen un suport intuïtiu que és fonamental, i no es poden acceptar ni comprendre sense ell.

Morris Kline, en el llibre “El fracaso de la matemática moderna” (EdSiglo XXI) diu sobre això: “L’ús de problemes reals i especialment físics no sols serveix per a fer interessants les matemàtiques, sinó també per donar-les un significat. Els nombres negatius no són únicament els inversos dels nombres positius respecte a la suma, sinó també els graus sota zero d’un termòmetre. L’el·lipse no és únicament un lloc geomètric particular, sinó també la trajectòria d’un planeta o d’un cometa. Les funcions no són conjunts de parells ordenats, sinó relacions entre variables reals com l’altura i el temps que dura el vol d’una pilota llançada verticalment, la distància del Sol a un planeta en diferents temps de l’any, i la població d’un país al llarg dels anys. Les funcions són lleis de l’univers i de la societat. Els conceptes matemàtics sorgiren de situacions o fenòmens físics com els que hem esmentat i llurs significats eren físics pels qui varen crear les matemàtiques per primera vegada. Privar els conceptes dels significats és conservar la pellofa i llençar la fruita.

Aquest text és part de  la introducció a la ” Guia del professor “,  ICE UAB, 1980.