signesCAT

Les bases d'una proposta per a l'ensenyament de les Matemàtiques i les Ciències a l'ESO

 

1. INTRODUCCIÓ.

Des del curs 1988/89, en diversos Instituts d’Ensenyament Secundari de Sabadell i del seu entorn (1) ha anat prenent forma una proposta per a l’ensenyament de les matemàtiques i de les ciències (2) sobre la base d’unitats didàctiques desenvolupades a classe per un sol ensenyant (independentment de si és d’una matèria o de l’altra) (3). Aquesta proposta és una opció per organitzar l’ensenyament d’aquestes matèries que té en compte tant els objectius generals i d’àrea establerts per l’administració educativa, com certes bases epistemològiques i didàctiques que, a partir de la nostra experiència com a ensenyants hem explicitat i assumit com a pròpies (4) al llarg d’aquests anys.

La intenció d’aquest article és la de desenvolupar aquestes bases des de la perspectiva de les matemàtiques, fent èmfasi en la dimensió social que té l’activitat de l’ensenyament i l’aprenentatge; una dimensió que no podem ignorar si tenim en compte que ens estem referint, en el nostre cas, a una activitat que duem a terme a l’interior d’una institució social com són els Instituts d’Ensenyament Secundari.

Per poder tractar correctament aquesta dimensió social de l’ensenyament de les matemàtiques, ens ha semblat útil adoptar la distinció (Margolinas 1989) entre:

a) el nivell de la micro-didàctica, que fa referència a les relacions entre el coneixement, l’ensenyant i els alumnes/as (l’anomenat sistema didàctic) en relació amb una certa part del coneixement i a una situació-problema donada;

b) el nivell de la meso-didàctica, que fa referència als canvis que es produeixen en un sistema didàctic, quan les situacions-problema que proposa l’ensenyant canvien; i

c) el nivell de la macro-didàctica, que fa referència a l’estudi tant dels sistemes didàctics com de sistemes educatius considerats a l’interior d’una certa societat (matemàtics, ensenyants, pares, alumnes…)

Així, per exemple, és des del nivell de la macro-didàctica (Bartolini 1992) que podem arribar a comprendre que tant el procés de construcció del cos de coneixements matemàtics (coneixement per ser utilitzat) com el procés de la seva transposició didàctica (que ho converteix en coneixement per a ser ensenyat) són fets socials que depenen de certes eleccions culturals globals de la societat on tenen lloc, i que per tant transcendeixen les intencions de qualsevol ensenyant en particular.

En canvi, les decisions que un ensenyant pren en el moment de planificar seqüències didàctiques, així com els criteris que utilitza per escollir situacions-problema per plantejar a classe, s’han de considerar a nivell de la meso-didàctica. Aquestes decisions poden tenir algunes limitacions (pels programes establerts per les diferents administracions educatives); però fins i tot així, és evident que es poden prendre decisions i seguir-criteris diferents i ser, no obstant això, cada un d’ells, coherents amb els objectius culturals, socio-institucionals o cognitius d’un ensenyant en particular, d’un grup d’ensenyants o de tot un centre educatiu.

El nivell de la micro-didàctica és el que permet analitzar el que passa dins de la classe, lloc on es dóna finalment el procés d’interacció social entre ensenyant i alumnes/es.

Pot ser convenient, i és el que farem en el que segueix, desenvolupar les bases de la nostra proposta des de cada un dels esmentats nivells, malgrat que la seva inevitable relació: si els diferenciem serà només a efectes de fer un discurs millor estructurat.

 

2. LA NOSTRA CONCEPCIÓ DE L’ENSENYAMENT DE LES MATEMÀTIQUES.

Hi ha certs aspectes dins del nivell de la macro-didàctica que ens sembla que determinen en el professorat, de manera conscient o no, la forma de plantejar-se l’ensenyament de les matemàtiques: la concepció que es té d’aquestes (2.1.), La qual es té sobre què és el coneixement i com s’aprèn (2.2.) i la concepció que d’ambdues es deriva sobre què ha de ser l’ensenyament de les matemàtiques (2.3.). Prendre posició sobre aquests tres aspectes ens permetrà fer explícit el marc sociocultural de la nostra proposta (2.4.).

2.1. La matemàtica com a producte cultural evolutiu.

Nombrosos treballs d’investigació, molts d’ells de tipus antropològic i realitzats amb mètodes etnogràfics (Bishop 1988), han posat de manifest el fet que les matemàtiques no tan sols tenen història, cosa fins a cert punt evident, sinó que aquesta està estretament vinculada a la història sociocultural de les societats en què s’han desenvolupat: en conseqüència, a l’ésser aquestes últimes diferents, han donat com a resultat cossos de coneixements matemàtics diferents en cadascuna d’elles.

Aquests resultats han posat en qüestió la concepció d’unes matemàtiques “úniques” i “universals” que es donava en la nostra societat occidental, i han obligat a acceptar la tesi que les matemàtiques són un producte cultural evolutiu: és a dir, un cos de coneixements, amb característiques pròpies en cadascuna de les diferents societats i cultures, que s’ha desenvolupat com a resultat de certes activitats que les persones duen a terme arran de la inevitable necessitat d’interacció amb el seu medi físic i social.

Tot i la diversitat dels cossos de coneixements matemàtics generats pels diferents grups culturals (de la mateixa manera que són diversos els seus llenguatges, creences religioses, ritus, tècniques de producció d’aliments, etc.), els estudis que s’han fet (Bishop 1988) permeten afirmar que el que sí que existeixen són activitats comunes a totes les cultures que són a la base de la producció de coneixements matemàtics. Entre aquestes activitats hi ha sis de fonamentals i que es poden considerar universals  antropològicament parlant. Són les de: comptar, localitzar, mesurar, dissenyar, jugar i explicar (en Bishop 1988 i en Bonilla 1987 es detallen els treballs que justifiquen cadascuna d’aquestes activitats i els conceptes matemàtics a què han donat origen). Aquestes activitats no són pròpiament matemàtiques, en el sentit actual del terme, sinó que són activitats “contextualitzades”, a través de les quals s’ha desenvolupat la matemàtica com una part de la cultura d’una societat. L’important és que poden considerar-se com les necessàries i suficients (potser excepte per a alguns aspectes interns a la mateixa matemàtica) per explicar el desenvolupament del coneixement matemàtic actual.

Però cal parlar, també, de quina és la matemàtica en la nostra societat actual; ja que és evident que, històricament, hi va haver un salt entre la “matemàtica operativa” vinculada en els seus orígens a les activitats “contextualitzades” anteriorment esmentades i la “matemàtica dels grecs” que va donar lloc a “nostres” matemàtiques, caracteritzades per certs continguts (conceptes i algoritmes del saber matemàtic, però també del saber quotidià, independentment del seu grau d’explicitació) i certes activitats basades sobre elements del saber matemàtic (com poden ser les de modelar, les de resoldre problemes, les de produir i demostrar conjectures, etc.).

Un salt que es va produir per raons filosòfiques i culturals externes a la matemàtica, i a què van seguir altres “ruptures” epistemològiques al llarg de la història. A clarificar les esmentades “ruptures” ha contribuït la filosofia de la matemàtica actual, que ha ressituat el seu interès pels problemes de fonamentació, per poder prestar atenció al caràcter gairebé empíric de l’activitat matemàtica; i també, en coherència amb el que hem dit fins ara, als aspectes relatius a la historicitat i immersió de la matemàtica dins de la cultura de la societat on s’origina.

Entre altres coses, s’han clarificat dos aspectes de l’activitat matemàtica, distingint la “lògica de la descoberta” de la “reconstrucció lògica” necessària a efectes de comunicació dels resultats de la primera a una comunitat més àmplia. Actualment es considera que el significat dels conceptes matemàtics són negociats a l’interior d’una certa comunitat, i que són part d’un procés de conjectures, refutacions i modificacions que donen lloc a demostracions que tenen una història i que per tant estan vinculades a un context: això explica que la història real d’una demostració entre freqüentment en conflicte amb la presentació de la mateixa com una certesa a-històrica, encara que aquesta sigui la presentació habitual a les aules, la qual cosa acaba deformant la imatge que els alumnes tenen de les matemàtiques.

D’altra banda, l’activitat matemàtica (Guzmán 1992) s’enfronta avui dia a un cert tipus d’estructures de la realitat (entesa en sentit ampli, com a realitat social, física o mental) molt més complexes que les que exigien les sis activitats bàsiques que abans hem esmentat: si, en coherència amb els esmentats estudis antropològics, la matemàtica podia considerar fins a cert punt com a resultat de l’activitat d’enfrontar-se amb la complexitat procedent de la multiplicitat i de la procedent de l’espai, més endavant s’ha hagut d’enfrontar amb la complexitat del símbol, amb la del canvi i la causalitat determinista, amb la procedent de la incertesa en la causalitat múltiple i, finalment, amb la procedent de l’estructura formal del mateix pensament. La qual cosa ha comportat, com hem dit abans, diversos salts o “ruptures epistemològiques” al llarg de la seva història, fent de la matemàtica una ciència autònoma amb relació a les altres.

Aquesta concepció de la matemàtica com a activitat humana històricament determinada és la que emmarca la nostra proposta; una concepció que té la seva repercussió en els motius que tenim com a ensenyants en el moment de pensar en l’activitat d’ensenyar matemàtiques a l’interior d’una institució social com són els instituts. Però les activitats que són a la base de la matemàtica, com activitats humanes que són, estimulen i són estimulades per una sèrie de processos cognitius que requereixen formes específiques de llenguatge i de representació. L’anàlisi d’aquests aspectes cognitius ens porta a un segon aspecte: les concepcions sobre el coneixement i l’aprenentatge.

2.2. La construcció del coneixement.

Pot ser interessant, en el moment de parlar de la visió sobre què és el coneixement i l’aprenentatge, fer-ho a través dels models o metàfores subjacents al tipus de qüestions plantejades amb relació a aquests fenòmens: les diferents teories sobre el coneixement i l’aprenentatge que s’han anat elaborant són intents de donar-los resposta (Sternberg 1990).

Fins a la dècada dels anys setanta, les metàfores sobre què és el coneixement i l’aprenentatge que dominaven (i podríem fer referència a la metàfora geogràfica, la computacional, la biològica o l’epistemològica) van donar lloc a teories que pretenien donar resposta a la pregunta de quina és la relació del coneixement amb el món intern de la persona.

Aquestes teories van entrar gradualment en crisi a causa de nombroses investigacions en el camp de la psicologia de l’aprenentatge: investigacions sociolingüístiques i sobre l’aprenentatge de les matemàtiques i de la física van posar en evidència diferents fets que difícilment encaixaven en aquelles, tot que confirmaven el paper actiu de la persona en la construcció del seu propi saber i la importància del procés d’adaptació d’aquella a les situacions que viu com un dels motors del seu creixement cognitiu.

D’interès per a nosaltres són les investigacions sobre la formació de conceptes, que posen en evidència que el domini d’un concepte també és el domini del conjunt de significats que assumeix en contextos diferents, així com del conjunt de relacions que la persona és capaç d’establir amb altres conceptes; i no l’efecte d’un procés d’identificació-abstracció basat en la intersecció d’aquells diferents significats (Boero 1991).

Podríem esmentar també les investigacions comparatives entre cultures diverses i contextos d’experiència diversos, que mostren variacions significatives dels conceptes i de les estructures operatòries al voltant dels quals sembla organitzar-se el saber de l’individu en funció d’aquelles (Carreher 1988). I finalment, les investigacions sobre l’aprenentatge de les ciències experimentals, que mostren la importància de les concepcions derivades de l’ambient sociocultural d’extracció de l’alumne i que poden obstaculitzar o afavorir determinades conceptualitzacions (Giordan 1988).

Tot això va fer necessari modificar o substituir algunes de les teories sobre el coneixement i l’aprenentatge elaborades fins llavors. Recollint les múltiples evidències que suggereixen que el context extern en el qual es mouen les persones té una importància enorme sobre el coneixement que aquestes construeixen, actualment l’atenció s’ha focalitzat en la qüestió de saber quina és la relació entre el coneixement i la realitat exterior de la persona: a conseqüència de la qual cosa han aparegut o recuperat altres metàfores (com l’antropològica, la historicosocial o la sistèmica) subjacents a les noves teories que intenten donar-li resposta.

En aquestes noves metàfores, el coneixement veu fonamentalment com un producte cultural evolutiu: des d’aquest punt de vista, el coneixement és una cosa diferent d’una persona a una altra, i d’una cultura a una altra, perquè el procés de selecció i modelització de la “realitat” i el d’adaptació a aquesta, és diferent en cadascuna d’elles. Aquesta és una visió que a nosaltres ens interessa particularment perquè és coherent amb la posició que hem adoptat en l’apartat 2.1 al parlar del coneixement matemàtic, si bé allà adoptàvem d’una perspectiva de construcció social de coneixement i ara aquí ens centrem en la perspectiva personal d’aquesta construcció.

No obstant això aquestes metàfores poden presentar alguns aspectes negatius: d’una banda, corren el perill de no considerar en absolut el coneixement i els procediments cognitius amb els quals la persona s’enfronta a la “realitat”; per una altra, tot i que donen importància al context, moltes vegades aquest apareix com una “caixa negra”, ja que no s’elucida què és exactament ni de quina manera determina la construcció individual de coneixement. D’aquestes possibles limitacions sorgir la necessitat de dirigir l’atenció cap quins són els mecanismes pels quals el context determina la construcció personal de coneixement.

La metàfora historicosocial, que té el seu origen en els treballs de Vygostky, és important perquè permet entendre i intervenir en la construcció del coneixement personal. Mentre les primeres metàfores tendien a veure el coneixement com quelcom que es mou des de l’interior de la persona cap a l’exterior, aquesta metàfora parteix d’una posició més dialèctica i destaca la component que va des de fora de la persona cap al seu interior: les persones joves quan creixen, interioritzen i fan seus els processos de pensament i els coneixements, històricament i socialment construïts, a través de les activitats socials en què participen amb la mediació dels adults. Aquesta metàfora intenta doncs donar resposta a com el procés de socialització afecta el desenvolupament del coneixement i permet començar a comprendre els mecanismes pels quals això és possible.

Aquestes reflexions ens fan pensar que en el moment actual es fa necessària l’adopció d’una posició flexible pel que fa a les concepcions sobre el coneixement i l’aprenentatge, sobretot de cara a la didàctica de les matemàtiques, i recollir aportacions crítiques de cadascuna d’elles.

A tall de resum, però, sembla que hi ha dos fets que faria faltar tenir presents (Gómez-Granell 1991):

* el coneixement es construeix en estreta interacció amb els contextos específics i les pràctiques d’interacció social.

* Els mecanismes de generalització i de transferència de l’aprenentatge no s’han d’entendre en termes d’abstracció progressiva o desvinculació contextual de capacitats susceptibles d’aplicació general en qualsevol domini.

L’aportació de les metàfores recents ens porta a entendre el coneixement com a resultat d’una activitat realitzada en un context cultural, històric i institucionalment definit, amb el qual interacciona el subjecte. És a dir, des d’una perspectiva antropològica i historicosocial, el coneixement es produeix no només perquè hi ha interacció amb el medi físic, sinó perquè aquesta interacció es dóna en el marc d’un context social amb un sentit cultural, en el qual les persones mantenen intercanvis i converses a través del llenguatge. La nostra proposta pretén ser coherent amb aquesta perspectiva antropològica i historicosocial adoptant una perspectiva de l’ensenyament de les matemàtiques i de les ciències experimentals com un procés d’enculturació.

2.3. L’ensenyament de la matemàtica com a procés d’enculturació.

Des d’una perspectiva antropològica i historicosocial del coneixement com la que hem esmentat, l’educació matemàtica hauria de considerar-se com una part del procés pel qual les persones prenen possessió de la seva cultura. Un procés que podem denominar procés d’enculturació (Bishop 1988) i que es porta a terme a partir de la realització d’activitats expressament dissenyades perquè aquelles assumeixin les formes de l’activitat matemàtica característiques d’un marc sociocultural específic: el currículum de matemàtiques hauria de ser l’objectivació de les esmentades formes que pretenem que les persones assumeixin.

Des d’aquesta posició, es plantegen de forma immediata dos grans problemes educatius. El primer que es planteja és el derivat de la possible separació entre la cultura de les persones joves i les matemàtiques que un vol ensenyar (Boero 1995). Tot i la dificultat per donar solució a aquest problema, l’anàlisi de l’estructura cultural de les matemàtiques permet no haver de partir de zero quan es vol disposar de criteris per elaborar currículums amb l’objectiu d’evitar aquesta separació: per exemple, tenint en compte les activitats bàsiques que han donat lloc a cossos de coneixements de matemàtiques a totes les societats i cultures, com un substrat cultural comú i general a totes les persones.

D’altra banda, l’anàlisi que hem fet el coneixement i de l’aprenentatge ens pot permetre donar resposta a un segon problema: el de la separació o continuïtat entre el pensament quotidià i el pensament científics. Creiem que actualment domina entre els ensenyants la concepció segons la qual entre tots dos hi ha una separació, i que la racionalitat científica es desenvolupa en ruptura amb la racionalitat quotidiana. Encara que compartim la necessitat de caracteritzar una i altra, ens sembla que als ensenyants no ens convé treballar amb aquesta imatge: ruptura significa el resultat de trencar, de trencar en aquest cas la racionalitat quotidiana de les persones joves, d’allò que els permet explicar-se el món natural i social en què s’han de moure i actuar de manera conseqüent, d’allò que, englobant aspectes cognitius i emocionals, forma part de la seva identitat personal. Treballar amb aquesta imatge comporta, freqüentment de manera inconscient, dissenyar accions didàctiques (a nivell de la meso-didàctica) a partir dels seus dèficits i no de les seves potencialitats.

Davant d’això, i també per ser coherents amb una visió de la matemàtica i de la ciència com a activitat social i històricament determinada, dirigida a descobrir “maneres de veure” i “maneres de parlar” congruents amb la realitat, i per tant com una activitat que té un fort component de debat, amb un ús important de la retòrica i de l’argumentació, ens interessa com a ensenyants veure una continuïtat entre la racionalitat quotidiana, i en concret la de les persones joves, i la científica. Una continuïtat que, certament, cal treballar per establir-la, la qual cosa és responsabilitat dels ensenyants. Per a això, pot ser més útil treballar des de la metàfora “de l’empelt”: és a dir, treballar per “empeltar” la racionalitat científica, amb els seus propis conceptes i procediments, sobre la racionalitat quotidiana, que té també els seus propis conceptes i procediments característics, fent que aquella creixi i es desenvolupi a partir d’aquesta. La qual cosa podem intentar aconseguir tan proposant als alumnes i fent servir amb ells nous llenguatges i pràctiques discursives, com donant la possibilitat a les persones joves de participar en altres tipus d’experiència, mediates i emblemàtiques, com les que podem oferir-los en el marc de l’institut.

Conclourem dient que, de forma coherent amb la concepció de les matemàtiques com a resultat de certes activitats socioculturals (2.1.) I amb la concepció antropològica i historicosocial del coneixement i de l’aprenentatge (2.2.), Entenem l’ensenyament de les matemàtiques i de les ciències com un procés d’enculturació, el nucli del qual són les activitats realitzades per les pròpies persones en el marc de la institució social de l’institut; activitats expressament dissenyades pels ensenyants per afavorir l’aprenentatge dels continguts matemàtics i científics per part d’aquelles sobre la base de la seva pròpia racionalitat quotidiana.

2.4. Marc sociocultural de la nostra proposta.

Aquesta forma d’entendre l’ensenyament de la matemàtica ens ha portat a dissenyar una proposta encaminada a trobar un equilibri entre les necessitats de formació de totes les persones per poder inserir-se en la societat actual i la necessitat d’inserir a aquestes en una cultura històricament determinada.

L’atenció sobre el primer punt (les necessitats actuals de formació) no ens pot fer oblidar el segon: que l’institut és una de les institucions socials, al costat d’altres, que ha de fer possible a les noves generacions la seva inserció en una determinada cultura; per a nosaltres aquest és el motiu del procés que hem anomenat d’enculturació. En aquest sentit, l’educació matemàtica i científica vehiculada mitjançant la nostra proposta pretén cobrir algunes de les necessitats actuals de formació, però també pretén donar resposta a la necessitat social d’assegurar la continuïtat de les noves generacions amb el patrimoni cultural de la humanitat, evitant la ruptura dels llaços d’aquelles amb les arrels de la nostra cultura.

Només tenint en compte aquest motiu central de l’activitat desenvolupada a l’institut serà possible al mateix temps donar a les persones una visió de la matemàtica com a activitat humana que respon a la necessitat de resoldre certs tipus de problemes; problemes que, històricament, han estat sempre presents en l’origen dels conceptes i procediments matemàtics. És des d’aquesta visió historicosocial de la matemàtica que és possible donar resposta a la necessitat cultural que les persones tenen de donar sentit als continguts matemàtics (objectes de coneixement) fent-conscients del seu caràcter d’instruments (instruments de coneixement) (Douady 1986 ) per resoldre certs problemes.

Finalment, és des d’aquesta concepció de l’ensenyament de les matemàtiques que podem també donar resposta a les necessitats individuals profundes que tenen les persones de “remuntar als seus orígens”, d’identificar-se amb els seus orígens familiars, socials i culturals concrets; orígens que els donen un marc de referència absolutament necessari per a desenvolupar-se com a persones adultes.

Donar resposta a les necessitats esmentades comporta per als ensenyants reflexionar sobre les arrels culturals dels coneixements bàsics de la matemàtica i de les ciències i sobre els problemes que històricament estan a la base del desenvolupament d’aquells. Entre aquests últims podríem citar, en particular i com a exemples, els problemes derivats de la mesura del temps, de l’orientació local i de l’orientació global sobre l’esfera terrestre; els tres relacionats entre si i vinculats estretament a les necessitats d’organització, social i econòmica, comuns a totes les societats.

Amb aquest tipus de reflexions es pot fer explícita la densitat de continguts matemàtics (tant conceptuals com procedimentals) que hi ha darrere de la majoria d’activitats socials “quotidianes”. Només a partir de la capacitat d’anàlisi adquirida pels ensenyants a través d’aquestes reflexions, és possible un ensenyament de la matemàtica entesa com un procés d’enculturació que asseguri la immersió de les persones joves en les fonts històriques i culturals dels continguts de la matemàtica. I això amb tres finalitats:

* fer-los conscients de les matemàtiques implícites que hi ha darrere de certs comportaments socials (per exemple, i seguint amb els ja citats, els que fan referència a la mesura socialment admesa del temps);

* Fer-los conscients el caràcter d’instrument dels conceptes matemàtics, per tal que aquests tinguin significat per a ells;

* Entrar en ressonància amb els interessos profunds i vitals que les persones joves tenen com a persones que creixen i viuen en una societat històricament determinada; i potenciar d’aquesta manera actituds positives cap al seu propi aprenentatge i cap a l’entorn sociocultural en què viuen.

2.5. La unitat didàctica “SOL I TERRA”.

Hi ha doncs la necessitat de propostes didàctiques innovadores i coherents que intentin donar resposta de manera equilibrada a les necessitats de formació de totes les persones i la necessitat de fer-ho sense trencar els llaços amb les arrels culturals dels continguts matemàtics: en aquest sentit, una de les unitats clau de la nostra proposta, la unitat “Sol i Terra”(5), que treballem dins el camp d’experiència de les “ombres del Sol” amb alumnes/as de 12/13 anys, a mitjans del primer curs d’ESO, és exemplar.

La unitat “Sol i Terra” ha demostrat ser un conjunt d’activitats que permeten donar resposta a les dues necessitats esmentades per les seves característiques intrínseques, sempre que siguin gestionades de manera conscient per part de l’ensenyant.

El treball sobre les ombres permet dur a terme experiències exemplars de racionalització d’un fenomen natural que en l’antiguitat va tenir una gran importància per a la construcció del saber geomètric, un saber estretament lligat amb la conquesta d’un major nivell de racionalitat en el domini de l’ambient natural. En particular, al camp d’experiència de les “ombres del Sol” els / les alumnes poden ser guiats i ajudats per l’ensenyant (que actua com a “mediador” entre ells i el passat) en el pas des d’una visió precientífica de les ombres (ombres com a atribut de l’objecte que la projecta, i / o com a reflex d’atributs del Sol) a la modelització geomètrica i aritmètica del fenomen (amb la introducció de conceptes com els de paral·lelisme, perpendicularitat, angle i proporcionalitat com a instruments de coneixement); i en aquest pas recórrer una etapa significativa de la construcció d’una racionalitat científica que va tenir lloc fa més de 25 segles (i que relacionem amb la figura de Tales), vinculada a l’ús de certs instruments geomètrics (regle, escaire, plomada) i a certes formes de representació (dibuix, escales) i, per tant, a certa tecnologia tant artefactual com simbòlica.

Al mateix temps, amb el treball al camp d’experiència de les “ombres del Sol”, els alumnes / as tenen nombroses ocasions, vinculades de manera “natural” a l’estudi del fenomen, per desenvolupar algunes capacitats necessàries per inserir-se en la societat actual d’una manera autònoma, com poden ser, per exemple, les capacitats per interpretar informació figural (gràfics, dibuixos en perspectiva, dibuixos tècnics, etc.) o per processar informació de forma visual; o també les capacitats de formulació i de gestió d’hipòtesis previsionals, interpretatives i/o projectuals amb relació a fenòmens complexos (Lladó 1995).

La referència a una unitat didàctica com la de “Sol i Terra” posa però de manifest el que per a nosaltres és el problema central de l’ensenyament: el de la inevitable recontextualització del saber que s’ha de fer a l’hora de dissenyar activitats didàctiques. Com dissenyar activitats a l’interior de l’institut que permetin desenvolupar coneixements matemàtics que van tenir origen en el seu exterior?

Hi ha algunes grans opcions per afrontar aquest problema, però creiem que això ens obliga a situar-nos al nivell de la meso-didàctica.

 

3. LES OPCIONS AL NIVELL DE LA MESO-DIDÀCTICA.

El procés que se segueix, conscientment o no, en el moment de dissenyar activitats per desenvolupar a classe cau dins del que s’anomena “transposició didàctica” i “recontextualització del saber” (3.1.). Es poden identificar quatre opcions “de recontextualització” pel que fa a les matemàtiques (3.2.); la que caracteritza la nostra proposta, l’analitzarem amb més detall (3.3.) abans d’exemplificar mitjançant la unitat “Habitatges i Terrenys”, que treballem amb els alumnes de 13/14 anys (3.4.).

3.1. La transposició didàctica.

La noció de “transposició didàctica” (Chevallard 1991) ha permès donar compte de la transformació necessària que es fa sobre els sabers que cal ensenyar abans que aquests puguin ser efectivament ensenyats. El saber matemàtic històricament i socialment reconegut en un moment donat pateix un procés de transposició didàctica per a convertir-se en saber matemàtic per a ser ensenyat. D’altra banda, aquest últim necessita encara una altra transformació per convertir-se en objecte d’ensenyament.

La planificació de seqüències didàctiques implica sempre un procés de “recontextualització” del coneixement matemàtic. Aquest procés, socialment inevitable, és d’altra banda absolutament necessari: “recontextualitzar” també vol dir fer accessible el “coneixement a ensenyar” a través de l’elecció d’oportunes situacions problemàtiques amb capacitat d’estimular la construcció dels significats que donen sentit als conceptes que hi ha darrere d’aquest coneixement, i amb capacitat, d’altra banda, d’establir relacions entre el coneixement en construcció amb la xarxa dels coneixements que els alumnes / as ja tenen, reforçant i aprofundint certs coneixements i posant en crisi a altres.

Si no es produeix aquesta recontextualització, o bé no es fa de forma adequada, moltes persones corren el risc de no “accedir” al coneixement i aprendre només a repetir el saber dels llibres de text sense interaccionar amb la seva cultura profunda, i per tant impossibilitant-per utilitzar els coneixements apresos en noves situacions, dins i fora de l’institut; o en tot cas, de convertir el coneixement adquirit en un coneixement que quedarà a un nivell que podríem anomenar de “coneixement inert”.

La recontextualització és necessària; però, segons el marc teòric que s’adopti, l’edat dels alumnes i els continguts a ensenyar, hi ha opcions didàctiques diverses per fer-ho. La recontextualització didàctica que hi ha darrere de la nostra proposta, en coherència amb les idees de la primera part (apartats 2.1, 2.2 i 2.3) pretén:

* Tenir en compte el caràcter sociocultural de les matemàtiques i de les ciències i, en conseqüència, el reconeixement del procés d’ensenyament de la matemàtica i de les ciències com un procés d’enculturació. Per tant, pretén dissenyar seqüències didàctiques que permetin construir una imatge de les matemàtiques com a instrument de coneixement útil per entendre i “racionalitzar” la realitat en què un viu, i vinculades a les pràctiques socials; sense negar l’altre aspecte de la matemàtica com a objecte cultural que evoluciona al llarg de la història segons exigències de sistematicitat, de coherència i de comunicabilitat, entre d’altres.

* Tenir en compte que la característica bàsica de les matemàtiques és la de ser una activitat que té com a motiu resoldre problemes (Douady 1986). Per tant, pretén respondre a la necessitat que el nucli bàsic de qualsevol opció didàctica per a l’ensenyament de la matemàtica sigui la de fer un ensenyament per problemes (Villani 1976).

* Tenir en compte la naturalesa dels processos de construcció de coneixement. En conseqüència, pretén oferir als alumnes les suficients oportunitats per a dotar de significat als continguts matemàtics apresos i per explicitar i relacionar-los amb els que ja constitueixen la seva xarxa conceptual.

* Tenir en compte, finalment, que tot aprenentatge queda vinculat al seu context i que per tant el context és important. En conseqüència, la nostra proposta pretén fer hipòtesis sobre quins poden ser els contextos adequats, no només per afavorir i “forçar” l’aprenentatge de certs continguts matemàtics i l’aparició i ús de determinades estratègies resolutives, sinó també per promoure el desenvolupament de competències generals (lingüístiques, lògiques, metacognitives, etc.)

3.2. Algunes opcions per recontextualitzar.

Ens centrarem especialment en aquest últim aspecte esmentat, ja que l’elecció i l’ús didàctic de contextos convenients és un problema difícil dins de la didàctica de les matemàtiques. De manera bastant sintètica, podríem agrupar les diferents opcions en dues grans línies, la segona de les quals engloba tres d’elles:

A) Opció descontextualizadora: Punt de vista formalista. En aquest cas, es presenten els conceptes precisament de manera descontextualitzada, tractant-los de la manera més general possible, organitzats en teories amb una estructura deductiva. Es vol evitar d’aquesta manera que els / les alumnes puguin associar precisament els conceptes a contextos particulars, de cara a millorar la seva capacitat de transferència i aplicació. Aquesta és l’opció que va prendre la presentació de les anomenades matemàtiques modernes.

B) Opció contextualitzadora. Dins d’aquesta opció distingirem:

* La etnomatemática. Aquest terme es refereix a l’estudi de les matemàtiques en relació directa amb el rerefons social, econòmic i cultural d’una determinada societat o grup social; es tracta de treure a la llum les matemàtiques implícites en múltiples activitats socialment compartides, i utilitzar-les com a punt de partida per fer matemàtiques a l’aula. Una conseqüència d’aquest procés de “recontextualització”, és un major nivell de consciència en els alumnes de la relació entre el raonament matemàtic i la producció material, és a dir, entre el “fer matemàtiques” i la tecnologia (Bonilla 1987).

* La matemàtica realista. Pretén treballar els conceptes en diferents contextos amb la finalitat d’aconseguir, d’una banda, la seva significativitat i funcionalitat, i per una altra facilitar el desenvolupament en les persones dels processos de modelització, de generalització i d’abstracció. Des d’aquesta posició, es veu l’activitat matemàtica com la que permet identificar situacions i formular problemes que permetin ser tractats matemàticament, i per això l’activitat de modelització esmentada passa a ser central. Una activitat que es desenvolupa en un context, i és aquest context el que dóna significat social i cultural a la matemàtica utilitzada per a la modelització. De vegades aquest procés de modelització s’anomena matematització horitzontal, que es distingeix de la matematització vertical (Treffers 1985), realitzada a partir de la generalització i abstracció dels continguts matemàtics mitjançant la simbolització.

* Treball a partir dels “camps d’experiència”, que detallarem més endavant (3.3) i que és l’opció que hi ha darrere de la nostra proposta.

Deixant de banda la primera opció, que ja ha demostrat les seves limitacions, i la segona, a tenir en compte quan es vol implantar currículums de matemàtiques en societats amb cultures diferents de la nostra cultura “occidental”, la perspectiva de la matemàtica realista, tot que representa un gran avenç en relació amb l’ensenyament tradicional de la matemàtica, presenta el problema que l’elecció de contextos per dissenyar propostes curriculars globals només es fa des del punt de vista dels objectius específics matemàtics; la qual cosa fa que resulti una estructura “episòdica” pel que fa als “contextos” escollits davant la unitat orgànica del currículum matemàtic.

Davant d’aquesta situació, i insistint en la consideració de la matemàtica com a producte cultural, cal trobar formes de planificar seqüències didàctiques que explotin la forta influència que la qualitat cultural i la unitat dels “contextos” escollits pugui tenir per a desenvolupar competències generals (lògiques, lingüístiques, metacognitives) a l’hora que desenvolupen competències estrictament matemàtiques. Encara que després de tot el que s’ha dit, està clar que, per exemple, la història de la cultura i els estudis etnomatemátics poden aportar elements per identificar contextos que permetin una recontextualització del coneixement matemàtic de manera orgànica amb aquests mateixos contextos escollits.

3.3. El treball a l’interior dels “camps d’experiència”.

Cal concretar que entenem per “recontextualitzar” i treballar en un context. Gran part de les experiències que es fan o poden fer-se a classe són models, simulacions o suggeriments “controlades” de tot allò que succeeix a la realitat externa a la classe. Aquesta és una limitació intrínseca de la institució escolar, però que també té les seves potencialitats. La nostra opció és la de no transferir dins l’institut la vida extraescolar (per un principi de realitat) sinó la d’immergir als alumnes en un procés d’enculturació a través de la reconstrucció de parts importants del saber a partir de contextos i situacions escollides adequadament per l’ensenyant.

El context escollit per elaborar seqüències didàctiques, però, es pot entendre de moltes maneres. La nostra proposta ha optat per utilitzar la noció de “camp d’experiència” (Boero 1989) per enquadrar tota la problemàtica de la “recontextualització”: entenem per “camp d’experiència” un sector de l’experiència (actual o potencial) dels alumnes, identificable per ells, amb característiques específiques que el fan apte (sota la guia de l’ensenyant) per desenvolupar activitats de modelització matemàtica i/o de plantejament i resolució de problemes matemàtics.

En funció d’aquesta opció, la nostra proposta pretén desenvolupar el treball a classe sobre “camps d’experiència” ja presents en la vida, extraescolar o no, dels alumnes, o proposar altres de nous (per exemple, els aportats per les ciències) que allarguin i/o anticipin la seva “experiència del món” i a través d’oportunes eleccions de situacions-problema, aprofundir, estendre i explicitar les competències que ja disposen, anant més enllà del que produiria el ritme natural de les seves experiències extraescolars, més enllà dels nivells d’aprofundiment als quals podrien arribar espontàniament en els diferents ambients socioculturals amb què poguessin trobar-se, i més enllà dels nivells d’explicitació i de consciència assolibles de manera espontània.

En aquest sentit, darrere de la nostra proposta hi ha la hipòtesi que les activitats desenvolupades a l’institut, a l’interior de certs camps d’experiència extraescolars o extra-matemàtics, posen les bases de futures activitats en camps d’experiència matemàtics. En certa manera, el treball a partir de camps d’experiència obliga a adoptar una posició dialèctica de l’ensenyament de la matemàtica, que ha d’anar acompanyada d’un visió a llarg termini de tot el procés d’ensenyament: en el nostre cas particular, d’una visió al llarg de tota l’etapa de l’ESO. Una visió dialèctica a llarg termini que es pot enquadrar en el marc teòric de la dialèctica instrument/objecte (Douady 1986).

Ja hem dit que l’activitat principal de les matemàtiques és la de plantejar i resoldre problemes vinculats a certes necessitats socialment determinades. Es pot considerar que inicialment els continguts matemàtics juguen el paper d’instruments de coneixement: d’instruments-eines per resoldre els problemes que es tenen plantejats. Només més tard, i en funció de raons diverses, el contingut matemàtic es descontextualitza per poder ser utilitzat en altres situacions i poder resoldre altres problemes: llavors passa a ser un objecte de coneixement que ocuparà un cert lloc dins d’una xarxa de coneixements més àmplia, la del saber matemàtic del moment.

A nivell de la meso-didàctica ens convé distingir el doble caràcter d’instrument i d’objecte d’un contingut matemàtic. El treball a l’interior d’un camp d’experiència explota precisament aquest doble caràcter: les persones, a l’interior d’un camp d’experiència escollit adequadament per l’ensenyant i sota la seva guia, construeixen i fan servir els continguts matemàtics inicialment com a instruments, de manera explícita o no. En aquesta etapa és precisament el camp d’experiència, el context, el que dóna significat als continguts matemàtics.

Només més endavant, a través d’activitats expressament dissenyades i encaminades a explicitar els continguts matemàtics que s’han utilitzat, aquests passaran a ser objectes de coneixement. Amb el temps, aquests nous objectes podran ser un camp d’experiència on plantejar nous problemes i per tant la necessitat de crear nous instruments de coneixement. És en aquest segon moment que es pot arribar a parlar de camps d’experiència interiors a la pròpia matemàtica.

Podem completar aquesta visió dialèctica esmentant el fet que el treball en un camp d’experiència extra-matemàtic pot posar les bases de futures activitats en un camp d’experiència matemàtic, tant pel que fa als significats dels conceptes matemàtics (presos com a instruments que a través de la mediació de l’ensenyant poden ser objectes de camps d’experiència interns de la matemàtica), com també pel que fa a les habilitats de base (capacitat d’argumentació, capacitat de reflexió, capacitat de desenvolupar processos metacognitius, etc.).

Tot i la potencialitat de la feina en “camps d’experiència”, aquest deixa però oberts certs problemes: d’una banda, s’ha de considerar el problema d’aquells alumnes que tenen una experiència extraescolar pobra (i enfront dels quals hi ha precisament el repte d’oferir-camps d’experiència que puguin ser la base de futurs aprenentatges); de l’altra, el problema que es presenta quan es pretén treballar instruments de coneixement absents totalment del context sociocultural dels alumnes; i finalment el problema derivat de certs aspectes interns de la pròpia matemàtica (i que només poden ser treballats a l’interior de camps d’experiència matemàtics; per exemple, el de la demostració).

En definitiva, la nostra proposta implica l’elaboració d’itineraris didàctics al llarg dels quatre cursos de l’ESO estructurats segons diferents criteris ordinadors: la successió d’etapes d’aprenentatge “disciplinar” (és a dir, de continguts matemàtics i científics) pretenem que s’entrellaci amb la successió d’etapes d’aprofundiment “temàtica” o “contextual” al llarg dels diferents camps d’experiència que constitueixen el substrat de les diverses unitats didàctiques.

3.4. Alguns comentaris sobre la unitat “HABITATGES I TERRENYS”.

La unitat “Habitatges i Terrenys” (6) ha estat elaborada entorn del problema de l’habitatge a les ciutats i la relació extensió/preu, del qual hem fet la hipòtesi que és un camp d’experiència per als alumnes. Aquest és reconegut com a tal per ells (recordem que aquesta era una de les característiques) com ho demostra l’anàlisi de les respostes que donen a les qüestions plantejades a l’inici de la unitat.

El camp semàntic (i que li dóna significat des del punt de vista de l’ensenyant) que està darrere d’aquesta unitat és la mesura de l’extensió de figures planes tancades, mentre que el camp d’experiència és, com hem dit, el d'”Habitatges i Terrenys” i els problemes de tipus socioeconòmic vinculats a ells. Aquest camp d’experiència és evocat en aquesta unitat didàctica a través de les lectures de la premsa o bé a partir de l’estructuració que pugui fer el propi ensenyant de les aportacions dels alumnes.

La unitat permet recollir l’anàlisi històrica del concepte d’àrea i de la seva mesura, i que posa de manifest que han estat vinculats gairebé sempre als aspectes econòmics de la terra, de la seva propietat, del seu ús i del seu intercanvi. Com ho estan encara en l’actualitat.

Un camp d’experiència no ve donat d’una vegada per totes, sinó que s’escull en funció del moment social en què es viu, de les condicions de l’institut, del marc sociocultural dels alumnes de manera que en principi podria ser intercanviat per un altre sempre que mantingués el mateix nucli conceptual. Així, a partir d’una anàlisi fenomenològic del concepte d’àrea i de la seva mida, seria possible identificar altres camps d’experiència alternatius. Així, per exemple, es podria construir la unitat didàctica a partir del camp d’experiència de la captació d’aigua de pluja com a recurs bàsic en les nostres societats urbanes. O bé, en l’àmbit de les ciències socials, de les relacions de desigualtat en la qualitat de vida de la població a partir d’indicadors com, per exemple, la densitat de població.

La proposta de treballar en un cert context ens permet fer “funcionar” als continguts matemàtics com a instruments de coneixement. És d’aquesta manera que els continguts matemàtics poden ser significatius per als alumnes. Però els continguts matemàtics construïts o utilitzats com a instruments de coneixement en un cert context, poden ser descontextualitzats i convertir-se en objectes matemàtics. A la llarga formaran part d’un nou camp d’experiència que farà necessari construir nous instruments de coneixement.

En matemàtiques aquest procés es pot repetir successives vegades, a diferència del que passa en les altres ciències (física, biologia). En aquest sentit, la unitat “Habitatges i Terrenys” explota a fons aquesta possibilitat, contribuint així a caracteritzar les matemàtiques com a ciència autònoma. En aquest sentit, aquesta unitat és l’inici d’un itinerari didàctic que tindrà la seva continuació en tercer curs d’ESO amb l’estudi de les expressions algebraiques, i en quart curs amb l’estudi de les transformacions d’expressions algebraiques, segons s’il·lustra a continuació.

 

4. EL TREBALL A EL NIVELL DE LA MICRO-DIDÀCTICA

En aquest apartat parlarem de les qüestions vinculades a la gestió de la classe, i per tant, al paper que correspon a l’ensenyant i el que correspon als alumnes dins del que es denomina sistema didàctic. En concret parlarem del contracte didàctic com un element fonamental d’aquest sistema (4.1.); a continuació de la responsabilitat que l’ensenyant tenen en el procés que ha de portar a l’explicitació i institucionalització del coneixement construït a l’interior de les situacions didàctiques (4.2.). Un procés que es realitza bàsicament a partir de les interaccions que s’estableixen a l’interior de la classe, i que per tant té, inevitablement, un caràcter social (4.3.).

4.1. El contracte didàctic.

Per estudiar experimentalment els problemes de l’ensenyament de les matemàtiques, l’escola francesa de didàctica utilitza la teoria de les situacions didàctiques (Brousseau 1986). El marc teòric que proporciona aquesta teoria pot ser útil per entendre alguns aspectes clau de la nostra proposta pel que fa a la seva gestió a la classe.

La teoria de les situacions didàctiques és avui dia bastant coneguda entre els ensenyants de matemàtiques i no ens estendrem en ella. Només recordarem que una situació didàctica es defineix com el conjunt de relacions establertes explícitament i/o implícitament entre els alumnes (individualment o col·lectivament), un cert mitjà (que comprèn eventualment els instruments o els objectes) i l’ensenyant, per tal d’aconseguir que aquells s’apropiïn d’un saber constituït o en vies de constitució.

Allò que ens sembla interessant de remarcar és el fet que el paper d'”ensenyant” o d'”alumne” en una situació didàctica vénen definits per la finalitat de sistema didàctic, que és el de passar d’un estat inicial a un estat final amb relació al saber objecte d’aprenentatge. Una relació que evidentment és asimètrica, ja que no és la mateixa la que manté l’ensenyant que la que mantenen els alumnes, i que per tant és una asimetria constitutiva del propi sistema didàctic. Inicialment, l’alumne/a no és que no tingui cap relació amb el saber, sinó que, en l’estat inicial, aquesta relació és poc o gens adequada. L’ensenyant ha d’organitzar les interrelacions entre els alumnes i entre aquests i el medi de manera productiva per tal que canviï la relació que aquells tenen amb el saber. Cal esperar que a partir d’un cert moment l’ensenyant podrà “retirar-se de l’escena”, i els alumnes podran mantenir una nova relació amb el saber més enllà de la presència de l’ensenyant.

Aquesta asimetria, creada per la diferent relació amb el saber de l’ensenyant i dels alumnes, ha ser però,  regulada d’alguna manera. L’ensenyant i els alumnes, dins de la relació didàctica, entren en un joc segons regles que funcionen com les clàusules d’un contracte, unes clàusules que freqüentment no són explícites i que es manifesten, freqüentment també, només quan són transgredides. Es pot doncs parlar d’un contracte didàctic, considerat com el conjunt de condicions que determinen implícitament allò que cada un, l’ensenyant d’una banda i els alumnes de l’altra, tenen la responsabilitat de fer.

La introducció de la noció de contracte didàctic permet analitzar certs fenòmens que s’observen a les aules (Azcárate 1994). Més endavant farem referència a un d’ells en relació amb les interaccions verbals a classe (4.3.). Però ara ens interessa comentar algunes característiques del contracte que pretenem s’estableixi mitjançant la nostra proposta, com a condició perquè s’assoleixin objectius coherents amb la concepció que hem exposat sobre l’ensenyament de les matemàtiques.

Partint de la concepció que l’ensenyament de les matemàtiques ha d’estar arrelada en l’activitat dels alumnes, el contracte ha de deixar clar que l’ensenyant està disposat a prendre com a base de l’evolució de sistema didàctic les pròpies activitats d’aquells, i que serà sobre les seves produccions personals i col·lectives que farà progressar el saber de tots. Perquè això sigui possible és evident que les situacions-problema que plantegi a l’interior dels camps d’experiència escollits, hauran de tenir certes característiques. Així, per exemple, la recerca de dades pertinents a les qüestions plantejades pot ser necessària i serà permesa i valorada, i per tant haurà de ser explicitada en el contracte; igual que la necessitat de validació dels resultats.

Algunes ruptures del contracte ja no són necessàries per fer avançar el saber, sinó que el mateix contracte preveu la progressió d’aquell posant a prova les successives concepcions provisionals i relativament bones dels alumnes, i que hauran, segons el cas, de rebutjar o de reprendre i estendre per formar noves concepcions. Entre altres aspectes, doncs, el nou contracte permet donar un nou estatut a l’error: l’error ja no és un defecte que cal evitar sinó que s’accepta, fins al punt que pugui ser constitutiu del propi coneixement.

4.2. La construcció del coneixement a l’interior de la classe: el paper de l’ensenyant.

La planificació i gestió a classe d’una determinada unitat didàctica, no pot prescindir de quadres teòrics de referència, explícits o no, referents tant als processos d’aprenentatge com als de la interacció ensenyant/alumnes. Però una pràctica didàctica atenta només a principis teòrics generals sobre els aspectes esmentats portaria a subvalorar els problemes didàctics i de gestió de la feina a classe que estan directament lligats amb els continguts (disciplinaris i contextuals) concrets que es volen desenvolupar. D’altra banda, estem convençuts que el patrimoni d’experiències acumulat pel col·lectiu d’ensenyants és, avui dia, suficientment rica i articulada com perquè permeti “comprendre” molt més la relació ensenyant/alumnes de què moltes teories permeten fer.

Tot això ve a propòsit de la necessitat de reflexionar doncs sobre el paper de l’ensenyant a classe. El nou contracte permet delimitar les noves responsabilitats: la responsabilitat de l’ensenyant no és l’aprenentatge dels alumnes, que és responsabilitat seva, sinó la de crear les condicions perquè aquest es produeixi. Des d’aquesta òptica, és evident que la nostra proposta ens ha dut a reflexionar com l’ensenyant pot fer evolucionar el treball a l’interior de cada situació didàctica.

Aquesta reflexió ens ha portat a extreure algunes indicacions, bàsicament orientades en dues direccions:

* Cap a una valoració de la feina personal i constructiva de l’alumne/a;

* Cap a la valoració del paper de l’ensenyant com a persona que proposa situacions-problema adequades per forçar un cert tipus de treball en els alumnes/es i com a artífex de la consciència que aquests han d’assolir sobre la naturalesa de l’activitat que se’ls proposa i sobre la qualitat i l’articulació dels processos de pensament que han seguit per a la seva resolució.

De totes maneres, l’ensenyant no pot limitar-se a tenir la funció de “persona que proposa situacions-problema ben escollits” i d'”organitzador de l’autoconsciència dels alumnes” (Gruppo di Ricerca 1992). Les anàlisis de la pròpia activitat que es desenvolupa a classe són els que posen en evidència, a parer nostre, la necessitat d’altres funcions; funcions que revaloren el paper de l’ensenyant com a persona clau per al procés d’aprenentatge dels alumnes.

En termes generals, i d’acord amb la dialèctica instrument/objecte, es poden distingir, a efectes d’exposició, dos moments diferenciats dins de la feina proposada als alumnes. Un primer moment és el vinculat a la construcció de coneixements com a instruments; el segon és quan es pretén que aquests passin a ser objectes de coneixement.

  1. A) El tipus de treball que es desenvolupa en un primer moment caracteritza la nostra proposta. En aquesta fase l’aspecte central de la tasca de l’ensenyant és la que fa referència a la responsabilitat de l’adquisició guiada (i si cal, “forçada”) del saber social comú a l’interior dels camps d’experiència proposats als alumnes. L’ensenyant, a parer nostre, en diferents situacions ha de suggerir i fer practicar als alumnes formes de fer, de dir, de representar els coneixements i procediments vinculats a les necessitats intrínseques dels problemes proposats; sense preocupar-se, a l’inici, de si els alumnes tenen coneixement del significat matemàtic o cultural d’allò que aprenen i aprenen a fer, i sense tampoc esperar que siguin ells els que proposin accions particulars per resoldre el problema plantejat, o proposin formes de representació específiques de resolució. D’alguna manera podríem dir que l’ensenyant ha d’actuar “com si” els alumnes sabessin ja.

Les motivacions i la justificació d’aquest tipus d’intervenció són diverses:

* Si es tracta de situacions dins de camps d’experiència que fan referència a la realitat extraescolar, és motivador per a ells que allò que se’ls proposa per part de l’ensenyant siguin activitats que els permeti accedir a un “saber i “saber-fer”, que s’adonin que es troben presents en el món dels adults i que són valorats per ells.

D’altra banda, fins i tot admetent la importància de l’aprenentatge “constructiu” per part dels alumnes en l’interior de les activitats que se’ls proposa, no s’exclou l’existència de coneixements adquirits a través d’altres formes d’aprenentatge. De cara a les situacions reals d’aprenentatge en la vida d’una persona, hem de reconèixer la importància tant de la capacitat de construir el propi saber, dirigint de manera conscient tant com sigui possible el propi procés d’aprenentatge, com d'”aprendre a fer” (per imitació, o seguint les instruccions d’un manual…)  i després gradualment adonar-se dels significats i de les relacions culturals d’allò que s’ha après.

En certs camps d’experiència ben escollits, que els alumnes podran elaborar autònomament estratègies de resolució, de vegades utilitzant de forma creativa els vincles inherents al “context extern” de camp d’experiència en el qual es treballa, de vegades fent referència a les seves pròpies concepcions. En altres casos, però, els alumnes poden ser incapaços, tant a nivell individual com col·lectiu, d’elaborar modelitzacions adequades de certs fenòmens o de certes situacions. No es tracta d’eliminar aquestes situacions pel sol fet que enfront d’elles els alumnes no siguin capaços de desenvolupar en un temps raonable un propi i autònom procés de construcció conceptual; més aviat es tracta d’acceptar per part de l’ensenyant un paper “intervencionista” directe sobre el procés d’aprenentatge de l’alumne/a, substitutiu (en certs casos) de l’actes de la pensament que ell possiblement no pot produir.

L’anàlisi d’aquest tipus de situacions freqüentment porta a adonar-se que es corresponen amb certs moments de la història de la matemàtica i de la ciència i que es qualifiquen de “revolucions científiques”; la veritat és que moltes d’aquestes “revolucions” no estan a l’abast d’un treball de construcció conceptual efectivament participatiu, de manera activa i autònoma, per part dels alumnes. No obstant això es tracta de “revolucions científiques” que les persones de l’escola secundària han de conèixer, en tant que constitueixen una interpretació racional actualitzada del món que ens envolta. I per tant l’ensenyant haurà de trobar formes d’actuar de mediador entre aquelles i aquestes, adoptant un paper “crític” davant les maneres de pensar ingènues o no “científiques” presents entre els alumnes i freqüentment també en els seus ambients socioculturals d’origen (Boero 1995).

* En el cas de certs camps d’experiència interns a la matemàtica, l’ensenyant ha de fer el paper de “testimoni de la cultura matemàtica” oferint a poc a poc als alumnes elements de confrontació amb les seves pròpies produccions matemàtiques i amb els instruments de representació de tals produccions de cara a fer-les evolucionar i convergir cap a la cultura matemàtica oficial.

* Un altre punt important relacionat amb el paper de l’ensenyant al llarg de tota aquesta fase de la feina, és la necessitat que aquest desenvolupi una nova cultura de l’observació. Amb aquesta expressió volem indicar una capacitat de l’ensenyant que a poc a poc va madurant amb l’experiència i no una qualitat que té o no. A poc a poc, a través de la feina amb els altres ensenyants, de l’observació en comú del procés d’aprenentatge dels alumnes, de la confrontació d’idees sobre els materials produïts per ells, l’ensenyant adquireix la capacitat d’observar i de captar les potencialitats de tots els alumnes, fins i tot, i de manera especial, d’aquells que tenen més problemes d’aprenentatge.

B) Passem a analitzar la segona fase de la feina. El treball desenvolupat en els camps d’experiència (Boero 1989) dóna com a resultat la construcció de conceptes i procediments que, la majoria de les vegades, es queden a un nivell operatiu implícit perquè aquests conceptes apareixen com a instruments de coneixement pertinents per a resoldre la situació plantejada. En aquest punt es corre el perill que les persones no siguin capaços de reconèixer-los, de transferir-los a altres camps o de relacionar-los amb altres conceptes o significats.

Per tant cal dissenyar activitats encaminades a fer possible que les persones explicitin i reconeguin els instruments de coneixement creats o utilitzats. Finalment caldrà entrar en activitats de comunicació i validació, que facin possible la distribució del saber entre totes les persones, abans d’arribar a un fase d’institucionalització on els instruments de coneixement creats rebin l’estatut d’objecte matemàtic: aquesta és la condició d’homogeneïtzació de la classe i, perquè cada un dels alumnes tingui la possibilitat d’acotar el seu saber i per tant d’assegurar la seva progressió.

Aquestes últimes etapes són absolutament necessàries perquè els continguts apresos puguin vincular-se amb les definicions i els formalismes dels manuals, és a dir, amb el coneixement socialment reconegut. Si aquesta vinculació no es dóna, es pot hipotecar la possibilitat que, en el futur, el saber  pugui desenvolupar-se de forma teòrica, quedant només de forma embrionària i personal, i privat de l’adequat sistema de representació que faciliti la seva comunicabilitat.

4.3. La interacció social a l’aula.

El marc teòric que hem anat dibuixant i el tipus de treball que es proposa fer a l’aula porten inevitablement a posar l’atenció en la interacció social que té lloc a l’aula, un tema que és centre d’atenció en el camp de la investigació didàctica . En particular en relació a les interaccions verbals que tenen lloc entre l’ensenyant i els alumnes / es o bé entre aquests quan treballen per parelles, en petits o grans.

Les interaccions verbals no són les úniques interaccions socials que es donen a l’interior de la classe, però és evident que és probablement el tipus d’interacció més important. Les interaccions verbals en l’ensenyament tradicional estan regulades per regles socials molt estrictes que s’ha pogut observar que són seguides pels participants sense que s’adonin (Edwards i Mercer 1987). Les regles són sovint diferents de les que regeixen la conversa quotidiana, però són acceptades de manera implícita. A les classe on es porta a terme un ensenyament tradicional de la matemàtica, és possible identificar certes regles que tenen a veure més amb certes convencions socials que amb la matemàtica i que acaben tenint efectes sobre la percepció per part dels alumnes / as de l’estatut que tenen les matemàtiques escolars.

Segons alguns d’aquests estudis, una de les regles de joc (o de l’contracte didàctic) que tradicionalment s’estableix dins de l’aula, la podem sintetitzar de la manera següent:

a) Només l’ensenyant fa preguntes.

b) L’ensenyant coneix totes les respostes.

c) Repetir una pregunta vol dir que la resposta és incorrecta.

Hi ha raons per plantejar-se canviar aquest tipus de regles que es donen dins de l’aula, raons que ara no ens veiem capaços de desenvolupar. Com canviar-les? La dificultat de fer-ho està en el fet que són regles implícites que es manifesten en forma de comportaments. Segurament els ensenyants que acceptin aquesta anàlisi i es reconeguin en el, si volen canviar-les hauran d’iniciar la difícil tasca d’aprendre una nova forma de comportar-se en la classe.

Les formes de trencar aquestes regles poden ser diverses, però sempre implicarà o bé dissenyar noves accions didàctiques o bé interpretar des d’un nou punt de vista les que ja es porten a terme: per exemple, podrem introduir la discussió dirigida per l’ensenyant en certs moments de la feina, podrem organitzar activitats dins i fora de l’aula per crear un substrat d’experiències comunes a totes les persones, podrem organitzar l’estudi en petits grups, podrem posar a crítica les produccions dels mateixos alumnes / es, etc …

De totes maneres, l’ensenyant no pot limitar-se a animar els / les alumnes a explicar-se, a exposar les seves idees, a valorar-les i retornar-les a el conjunt de la classe; també cal que sigui present abans, durant i després de l’acció didàctica: abans per planificar i preparar l’escenari, sobre la base d’un atent anàlisi de l’saber en joc; durant, per proporcionar estímuls a l’acció, crear i subratllar situacions conflictives, suggerir explícitament el recurs a instruments culturals que no poden ser construïts per part dels alumnes / as sobre l’única base de la seva pròpia experiència; després, per donar forma a l’saber construït i introduir en la memòria de la classe dels nous instruments matemàtics de manera estable.

Cal destacar entre les possibles interaccions verbals objecte d’atenció per part de l’ensenyant les discussions sobre continguts matemàtics. La discussió comporta processos lingüístics i socio-cognitius particularment rellevants per a l’adquisició de noves estratègies i de coneixements més complexos. D’altra banda, la importància de la discussió vénen avalada per les aportacions de Vigotski, per al qual les funcions mentals superiors es desenvolupen primer a un nivell interpersonal (com el que pot suposar la discussió col·lectiva) abans de passar a un nivell intrapersonal.

4.4. La unitat “GENÈTICA”.

Voldríem acabar aquesta part fent referència a una altra unitat, la de “Genètica” (7). En aquesta s’explota el camp d’experiència de les “lleis de l’herència” per a construir alguns continguts de matemàtiques com a instruments que permeten disposar d’un model interpretatiu de les esmentades lleis: en particular, la noció d’atzar, amb les seves característiques específiques, i el concepte de probabilitat i de la seva mida.

L’anàlisi històrica permet adonar-se que precisament és amb les lleis de Mendel que el concepte d’atzar i de probabilitat permet construir per primera vegada un model matemàtic adequat per interpretar un fenomen biològic. Aquesta recontextualització històrica, un cop a l’aula, permet:

* Construir continguts matemàtics, tal com hem dit;

* Aprofundir en la noció de model (ja que els alumnes, com Mendel, han d’entrar en el “joc” de l’elaboració d’hipòtesis interpretatives per a explicar “com pot ser” la realitat microscòpica a partir de les dades macroscòpiques);

* Aprofundir en la noció de simulació (quan, un cop elaborades les hipòtesis pertinents, se substitueix l’experimentació en el context del fenomen estudiat per una experimentació en un altre context com pot ser el del llançament de monedes);

La unitat està pensada per afavorir les interrelacions verbals (escrites i orals) entre:

* Els alumnes, que sobre el tema tenen ja les seves pròpies idees i concepcions (a partir de la seva experiència fora de l’institut: pel·lícules, converses amb familiars…), i l’ensenyant que també té les seves concepcions (més o menys ajustades) però que en qualsevol cas té la responsabilitat de ser el “representant d’un saber” a l’interior de la classe;

* Entre els alumnes i el mateix Mendel, a través de fragments dels seus textos originals (escollits adequadament per l’ensenyant), avançant-se a allò que Mendel va escriure, o bé contrastant-lo amb allò que realment va escriure, etc.

* Entre els mateixos alumnes, quan l’ensenyant torna a la classe els textos elaborats per ells i proposa la seva confrontació i discussió;

* Entre totes les persones de la classe (alumnes i ensenyant), quan es plantegen situacions de formulació i explicitació de les idees o quan es plantegen situacions d’institucionalització del coneixement.

Finalment voldríem fer referència al fet que aquesta és una unitat que permet comprendre una idea que ja hem expressat abans: l’imperatiu de respondre a les necessitats individuals profundes que tenen els alumnes de “remuntar-se als orígens”, per exemple, d’identificar-se amb els seus orígens familiars. En un moment que es converteixen en adults, les persones han d’assumir els seus orígens familiars, pas absolutament necessari per a desenvolupar-se com a tals. Creiem que la unitat “Genètica” respon perfectament a aquesta necessitat.

 

5.0.  A tall de conclusió

El fet que la nostra proposta per a l’ensenyament de les matemàtiques i de les ciències impliqui que un sol professor/a faci les diverses unitats didàctiques elaborades ha suposat, per als ensenyants que hem treballat durant aquests cursos, la necessitat de formar-nos en temes que no eren de la nostra especialitat. La veritat és que el fet de treballar en una proposta com l’esmentada, planteja una certa dialèctica entre la necessitat d’especialització i una formació més global del professorat de secundària. En aquest sentit, pensem que en certs moments pot haver-hi una certa contradicció entre alguns Objectius Terminals (i algunes indicacions que es donen en el Disseny Curricular) que es pretén que els alumnes arribin, de caràcter més aviat globalitzador, i la nostra pròpia formació que, com llicenciats, és molt especialitzada.

Un dels aspectes importants de la proposta és  preguntar-se quins són els temes, les situacions, els interessos dels alumnes que cal treballar i desenvolupar dins de l’ESO. I creiem que l’experiència ens ha confirmat que una manera d’afrontar aquestes qüestions és a través de la reflexió en l’àmbit dels adults, dels propis ensenyants. Aquest plantejament, a més, creiem que és la clau de la implicació personal que comporta la proposta, el desenvolupament de la qual revalora el paper de l’ensenyant, fent-ho anar més enllà d’un simple executor d’un pla d’estudis. I també la clau  què permet iniciar una discussió entre ensenyants de diferents àrees més enllà de la simple polèmica sobre la importància de cadascuna d’elles i de la seva traducció en el nombre d’hores setmanals necessàries per impartir-les.

Per acabar: l’anàlisi d’aquests últims cursos, durant els quals hem dut a terme l’ensenyament de les matemàtiques i les ciències a partir de la proposta esmentada, ens permet poder afirmar que es cobreixen els objectius propis de les dues àrees, tot i que encara caldrà fer algunes successives revisions en funció de la visió global dels quatre cursos de l’etapa 12-16 que l’experiència vagi aportant.

Malgrat aquesta afirmació, a poc a poc s’ha fet més evident la necessitat de poder avaluar la proposta com a tal, tenint en compte que pretén cobrir uns objectius de caràcter molt general de formació científica i cultural que només és possible avaluar en períodes llargs. Com és possible avaluar aprenentatges a llarg terme? Com és possible avaluar si la formació científica i cultural que pretén donar l’institut comporta un canvi d’actituds, d’hàbits o de manera de veure i viure? Són aquestes, encara, algunes qüestions obertes. En aquest sentit, la nostra proposta és només una hipòtesi de treball.

 

NOTES.

(1) Els instituts són l’IES “Sabadell” (C/Juvenal 1, 08206 Sabadell), l’IES “Vallès”.  l’IES “Sant Quirze” i l’IES “Santa Perpètua”.

(2) Aquesta proposta, amb el nom de “Matemàtiques i Realitat” va ser presentada i seleccionada en el Concurs de Materials Curriculars convocat pel MEC (Madrid 1990). El material presentat inclou nou unitats didàctiques, algunes amb les guies per al professor/a, que cobreixen el primer cicle de l’ESO. Les unitats esmentades tenen per títol: Mesurar per Conèixer, La temperatura i la seva mesura, Sol i Terra, Càlcul en la història, Nutrició i alimentació, Habitatges i Terrenys, Casa i territori, Genètica, Geometria a la història.

(3) En aquests moments, en tots els cursos de l’ESO, un sol ensenyant es fa càrrec de les dues matèries, les Matemàtiques i les Ciències Experimentals. En el primer cicle, les dues matèries s’imparteixen a classe a partir de les unitats esmentades que inclouen continguts de totes dues.

(4) Aquesta proposta deu molt a la feina desenvolupada amb el Grup Zero de Barcelona pel que fa a les matemàtiques, i a la feina en col·laboració amb el Gruppo di Ricerca sulla Didattica della Matematica i la Formazione Scientifica nella Scuola dell’Obbligo, de la Universitat de Gènova i coordinat pel Prof. Paolo Boero. Aquest Gruppo treballa des de l’any 1975 en una proposta per a la Scuola Media (11-13).

(5) És una unitat didàctica que es treballa en primer curs de l’ESO. Forma part del Projecte “Matemàtiques i Realitat”. Està escrita la seva guia per al professor/a. És una adaptació de la unitat “Sole i Terra” de l’Gruppo di Ricerca de Gènova.

(6) És una unitat didàctica que es treballa en segon curs d’ESO. Forma part del Projecte “Matemàtiques i Realitat”. Està escrita la seva guia per al professor/a.

(7) És una unitat didàctica que es treballa en segon curs d’ESO. Forma part del Projecte “Matemàtiques i Realitat”. És una adaptació de la unitat “Genètica” de l’Gruppo di Ricerca de Gènova.

 

BIBLIOGRAFÍA.

AZCÁRATE, C. (1994) : “El contracte didàctic”. A Crònica d’Ensenyament, nº 70. Barcelona, Departament d’Ensenyament de la Generalitat de Catalunya.

BARTOLINI BUSSI M. (1992): “Social interaction and mathematical knowledge”. Proceedings PME 1992.

BISHOP, A.J. (1988) : Mathematical Enculturation. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.

BOERO, P. (1989) : “Mathematical Literacy for All: Experiences and Problems”. Prpceedings PME-XIII, Paris.

BOERO, P. (1995) : “Alcuni aspetti del rapporto tra matematica e cultura nell’insengamento-apprendimento della matematica nella scuola dell’obbligo”. Proceedings PME 1995. En premsa.

BONILLA, E. (1987):  “La dimensión de la cultura en la investigación en matemáticas educativa”.Memòries de la primera reunió centreamericana i del Carib sobre formació de professors i investigació en matemàtica educativa. Mèxic.

BROUSSEAU, G. (1986): “Fondaments et méthodes de la didactique des mathématiques”. Recherches en Didactique des Mathématiques, vol 7 nº 2 pp 33-115. Grenoble, La Penseé Sauvage.

CARREHER, T.N. i altres (1985): “Mathematics in the street and the schools”. British Journal of Developmental Psychology, 3, 21-29.

CHEVALLARD, Y., JOHSUA M-A. (1991): La transposition Didactique. Grenoble, La Penseé Sauvage.

DOUADY, R (1986): “Jeux de cadre et dialectique outil-objet”. Recherches en Didactiques des Mathèmatiques, vol 7 nº 2 pp 5-31, ed. La Penseé Sauvage, Grenoble.

EDWARDS, D., MERCER, N. (1987): El conocimiento compartido. Madrid: Paidós i MEC.

GIORDAN, A., de VECCHI, G. (1988): Los orígenes del saber. Sevilla: Diada Editores.

GOMEZ-GRANELL, C (1991): “Cognición, contexto y eneseñanza de las matemáticas”. En Comunicación, Lenguaje y Educación, 1991, 11-12, 11-26.

GRUPPO DI RICERCA DA GENOVA (1992): Bambini, Maestri e Realtà. Università Genova.

GUZMAN, M. de (1992) : “Tendències innovadores en educació matemàtica”. Barcelona : Butlletí de la Societat Catalana de Matemàtiques.

LLADÓ, C. (1995) : “Une éducation mathématique enracinée dans l’histoire de la cultura qui réponde aux besoins des enfants pour les insérer dans la société actuelle : L’équilibre nécessaire”. Proceedings CIEAEM 47, Berlín. En premsa.

MARGOLINAS, C. (1989) : Le point de veu de la validation : essay de synthèse ed d’analyse en didactique des mathèmatiques. Thése de doctorat, Université de Grenoble 1.

STERNBERG, R.J. (1990) : Metaphors of mind. Cambridge: Cambridge Univ. Press.

TREFFERS, A., GOFFREE, F. (1985) : “Rational Analysis of Realistic Mathematics Education : The WISKOBAS Program”. Proceedings PME IX.

VILLANI, V., SPOTORNO, B. (1976): Mondo reale e modelli matematici. Firenze, La Nuova Italia.